Concours ENS 1829 : La copie mythique d'Évariste Galois retrouvée !

Copie d'examen de Galois à l'École Normale Supérieure

Contexte historique et présentation du candidat

Cet élève a une supériorité marquée sur tous ses condisciples. Ne travaillant qu'aux parties supérieures des mathématiques.

• À seulement 17 ans, Évariste Galois se présente au concours de l'École Normale Supérieure en 1829 après avoir échoué par deux fois à l'École Polytechnique, principalement en raison de son tempérament impétueux et de son refus de fournir des explications détaillées lors des épreuves orales. Son parcours scolaire au lycée Louis-le-Grand sous la direction du professeur Louis Richard révèle déjà son génie mathématique précoce et ses dispositions exceptionnelles.
• Le contexte du concours est particulièrement intéressant avec 84 participants et des épreuves non standardisées, où Galois compose sur des copies portant la mention "Concours général" bien qu'il n'ait probablement jamais participé à ce dernier. Les appréciations de ses examinateurs décrivent un élève parfois obscur dans ses idées mais doté d'une intelligence remarquable et d'un esprit de recherche prononcé, promettant d'être "pour l'université une bonne acquisition".
• La singularité de Galois réside dans sa vocation de chercheur pur, contrastant avec la finalité professorale de l'École Normale Supérieure. Son directeur notera sa faiblesse en physique mais soulignera la supériorité de son examen mathématique, confirmant que sa véritable passion se situe dans la recherche fondamentale plutôt que dans l'enseignement secondaire.

Première méthode d'encadrement des racines par les dérivées

Si on est capable de trouver un K qui quel que soit le Z positif nous donne que f + Z est strictement positif, bah ça implique que K c'est le maximum des racines.

• La première méthode proposée par Galois utilise le développement de Taylor pour établir un encadrement précis des racines d'un polynôme. L'idée fondamentale est que si toutes les dérivées successives deviennent positives à partir d'une certaine valeur K, alors cette valeur constitue une limite supérieure stricte pour les racines du polynôme, garantissant qu'aucune racine réelle ne peut lui être supérieure.
• Galois applique cette méthode au polynôme x⁷ - 2x⁵ + x⁴ - 8x³ + 6x² + 2x + 4 en calculant systématiquement toutes ses dérivées successives. Il détermine que le plus petit entier rendant toutes ces dérivées positives est 3, établissant ainsi une borne supérieure rigoureuse pour les racines positives du polynôme étudié.
• Pour les racines négatives, Galois effectue le changement de variable x = -y et applique la même méthodologie, trouvant que -2 constitue la borne inférieure. Ce double résultat permet de confiner toutes les racines réelles dans l'intervalle [-2, 3], démontrant l'efficacité remarquable de cette approche analytique pour la localisation des zéros polynomiaux.

Deuxième méthode par majoration brutale

La deuxième méthode, elle est tout aussi intéressante, c'est une méthode d'énorme bourrin.

• La seconde approche développée par Galois repose sur une technique de majoration plus rapide mais moins précise, consistant à remplacer tous les coefficients du polynôme par la valeur absolue du coefficient négatif le plus important. Cette méthode "brutale" permet d'obtenir rapidement un encadrement approximatif sans nécessiter les calculs fastidieux des dérivées successives.
• En appliquant cette technique au même polynôme, Galois trouve une borne supérieure de 1 + √12 ≈ 4,5 et une borne inférieure de -3, donnant l'intervalle [-3, 4,5]. Bien que moins précis que le résultat précédent, cet encadrement reste valide et s'obtient avec un effort computationnel significativement réduit, illustrant le compromis entre précision et efficacité.
• La comparaison des deux méthodes révèle l'étendue des compétences mathématiques de Galois, capable de maîtriser autant les approches fines et précises que les techniques approximatives rapides. Cette dualité méthodologique témoigne de sa profonde compréhension des outils mathématiques et de sa capacité à adapter sa stratégie en fonction des contraintes de temps et de précision.

Analyse pédagogique et comparaison avec les concours modernes

Je trouve que c'est quand même super intéressant de voir le genre de question qui était posée aux élèves en 1828 1829.

• L'analyse rétrospective de cette épreuve historique révèle que les concours d'entrée de l'École Normale Supérieure au XIXe siècle, bien qu'exigeants, étaient nettement plus accessibles que leurs équivalents contemporains. Les questions, directement inspirées des manuels de référence de l'époque comme ceux de Louis Le Fibur de Fourcier, testaient principalement la maîtrise technique et la compréhension conceptuelle plutôt que l'innovation.
• Le contenu de cette épreuve, centré sur des méthodes fondamentales d'analyse algébrique, contraste fortement avec la complexité et l'abstraction des concours modernes. Galois lui-même, malgré son génie reconnu, aurait probablement rencontré des difficultés avec le niveau actuel des épreuves, ce qui souligne l'évolution considérable des attentes envers les candidats.
• Cette copie exceptionnelle offre un témoignage précieux sur la formation mathématique du début du XIXe siècle et permet de mesurer l'écart pédagogique avec les pratiques contemporaines. Elle illustre également comment des concepts aujourd'hui considérés comme avancés pouvaient être abordés de manière accessible à des lycéens particulièrement doués et motivés.